Décomposition : saisonnalité

Objectif

• modéliser la saisonnalité (pour repérer les mouvements saisonniers de notre série)

• soustraire la saisonnalité

• déterminer les ordres de différenciation, d’autorégressif, de moyenne mobile

Outils pour la saisonnalité

• seasonal plot (sans et avec superposition de séries)

• périodogramme

import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf

from src.functions.seasonality import SeasonalPlotter, check_stationarity_and_difference
from src.utils import init_notebook

init_notebook()

Import des données traitées de la tendance

data_folder = "data/processed_data/detrend_data/LinearMADetrend/window-100"
stock_name = "AAPL"

df_detrend = pd.read_csv(
    f"{data_folder}/{stock_name}.csv", parse_dates=["Date"], index_col="Date"
)
print(f"{df_detrend.shape = }")

df_detrend.shape = (756, 6)

df_detrend.head()

	Open	High	Low	Close	Adj Close	Volume
Date
2019-01-02	-2.636750	-1.646748	-2.801751	-1.879250	-3.465916	148158800
2019-01-03	-5.465638	-5.030637	-5.960637	-5.913137	-7.341764	365248800
2019-01-04	-5.434760	-4.429759	-5.617259	-4.502261	-5.991877	234428400
2019-01-07	-4.487831	-4.455330	-5.187832	-4.680332	-6.166622	219111200
2019-01-08	-4.372408	-3.807405	-4.632406	-4.074907	-5.589533	164101200

# Take close price only
close_detrend = df_detrend["Close"]

Graphe de saisonnalité en utilisant l’API statsmodels

Saisonnalité mensuelle

Pour chaque mois, on fait la moyenne des prix de clôture.
Puis on affiche le graphe de saisonnalité.
La barre rouge représente, pour le mois de janvier par exemple, la moyenne sur tous les mois de janvier (01-19, 01-20, 01-21 etc.)

close_monthly_resample = close_detrend.resample("M").mean()
close_monthly_resample.head()

Date
2019-01-31   -3.792133
2019-02-28   -1.279019
2019-03-31    0.514090
2019-04-30    3.201218
2019-05-31   -0.825486
Freq: M, Name: Close, dtype: float64

fig = sm.graphics.tsa.month_plot(close_monthly_resample, ylabel="Close price")

Saisonnalité hebdomadaire

# Resample on week frequency
close_weekly_resample = close_detrend.resample("W").mean()
close_weekly_resample

Date
2019-01-06    -4.098216
2019-01-13    -3.975125
2019-01-20    -3.798467
2019-01-27    -4.138694
2019-02-03    -2.734122
                ...    
2021-12-05     6.961971
2021-12-12    16.062935
2021-12-19    16.276648
2021-12-26    14.106925
2022-01-02    18.462308
Freq: W-SUN, Name: Close, Length: 157, dtype: float64

# Create groupby object needed by seasonal_plot function of statsmodels
groupby_week_object = close_weekly_resample.groupby(lambda resample: resample.week)

# Define xticklabels, index of week
xticklabels = [f"{i}" for i in range(1, 54)]

# Seasonal plot

_, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
fig = sm.graphics.tsa.seasonal_plot(
    groupby_week_object, xticklabels=xticklabels, ylabel="Close price", ax=ax
)

# Prevent some xticks from plotting
every_nth_tick = 2
for n, label in enumerate(ax.xaxis.get_ticklabels()):
    if n % every_nth_tick != 0:
        label.set_visible(False)

Graphe de saisonnalité par superposition de séries

# Copy dataframe for seasonal plot
df_detrend_seasonality = df_detrend.copy()

# Adapt index for function
df_detrend_seasonality.index = df_detrend_seasonality.index.to_period("D")

# Define dummies
df_detrend_seasonality["weekofyear"] = df_detrend_seasonality.index.week
df_detrend_seasonality["dayofyear"] = df_detrend_seasonality.index.dayofyear
df_detrend_seasonality["year"] = df_detrend_seasonality.index.year

# Seasonal plot
_, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))
SeasonalPlotter.seasonal_plot(
    X=df_detrend_seasonality, y="Close", period="year", freq="weekofyear", ax=ax
)

/home/runner/work/stock-analysis/stock-analysis/src/functions/seasonality.py:61: FutureWarning: 

The `ci` parameter is deprecated. Use `errorbar=('ci', False)` for the same effect.

  ax = sns.lineplot(

<Axes: title={'center': 'Seasonal Plot (year/weekofyear)'}, xlabel='weekofyear', ylabel='Close'>

# Seasonal plot
_, ax = plt.subplots(figsize=(12, 6))
SeasonalPlotter.seasonal_plot(
    X=df_detrend_seasonality, y="Close", period="year", freq="dayofyear", ax=ax
)

/home/runner/work/stock-analysis/stock-analysis/src/functions/seasonality.py:61: FutureWarning: 

The `ci` parameter is deprecated. Use `errorbar=('ci', False)` for the same effect.

  ax = sns.lineplot(

<Axes: title={'center': 'Seasonal Plot (year/dayofyear)'}, xlabel='dayofyear', ylabel='Close'>

Périodogramme

SeasonalPlotter.plot_periodogram(time_series=df_detrend["Close"], detrend=False)

<Axes: title={'center': 'Periodogram'}, ylabel='Variance'>

Le périodogramme met en évidence des fréquences importantes semi-annuelle et trimestrielle.
Ces fréquences se constatent sur les graphes de saisonnalité, avec des cycles trimestrielles.

Différenciation saisonnière

# Define the seasonal frequencies
quarterly_freq = 90
semiannual_freq = 180

# Differencing on quaterly frequency
df_detrend["close_without_season"] = df_detrend["Close"] - df_detrend["Close"].shift(
    quarterly_freq
)

# Differencing on semiannual frequency
df_detrend["close_without_season"] = df_detrend["close_without_season"] - df_detrend[
    "Close"
].shift(semiannual_freq)

df_detrend["close_without_season"].isna().sum()

180

Nous choisissons donc le paramètre \(D\) valant 90 pour la saisonnalité dans le modèle SARIMA.

Nous avons désormais un jeu de données sans saisonnalité avec 180 jours de données manquantes.
Cet effet est dû à la différenciation semi annuelle.

df_detrend["Close"].plot(title="Close price detrended")

<Axes: title={'center': 'Close price detrended'}, xlabel='Date'>

df_detrend["close_without_season"].plot(
    title="Close price detrended and differenced for seasonality"
)

<Axes: title={'center': 'Close price detrended and differenced for seasonality'}, xlabel='Date'>

df_detrend["close_without_season"].to_csv(
    "data/processed_data/season_treated_data/quaterly_semiannual_differencing/AAPL.csv"
)

Détermination de l’ordre autorégressif

lag = (
    len(df_detrend["Close"]) // 10
)  # Display lags from 0 to 1/10 of time series length

_ = plot_pacf(df_detrend["Close"], lags=lag, title="PACF plot - Close price detrended")

Nous choisissons \(P\) valant 2 pour la partie saisonnière du modèle SARIMA.

Détermination de l’ordre de moyenne mobile

lag = (
    len(df_detrend["Close"]) // 10
)  # Display lags from 0 to 1/10 of time series length

_ = plot_acf(df_detrend["Close"], lags=lag, title="ACF plot - Close price detrended")

Le graphique des autocorrélations passe à 0, au seuil de confiance de 95%, au retard 14.
Nous choisissons donc le paramètre \(Q\) valant 14 pour la partie saisonnière du modèle SARIMA.

Modèle ARIMA

Cette partie est consacrée à la détermination des paramètres du modèle prédictif ARIMA de paramètres \(p, d, q\) qui désignent respectivement :

• L’ordre autorégressif

• L’ordre de différenciation pour atteindre la stationnarité

• L’ordre de moyenne mobile

time_series = df_detrend["close_without_season"]
time_series = time_series[~time_series.isna()]
time_series

Date
2019-09-19     2.746602
2019-09-20     5.162185
2019-09-23     3.355712
2019-09-24     3.423930
2019-09-25     3.872582
                ...    
2021-12-23     4.962022
2021-12-27    14.379935
2021-12-28     9.723572
2021-12-29    10.662810
2021-12-30     5.430709
Name: close_without_season, Length: 576, dtype: float64

Détermination de l’ordre de différenciation

stationary_time_series, num_diffs, adfuller_pvalue = check_stationarity_and_difference(
    time_series
)

pvalue for adfuller test on differencing order 1 is 0.0

Une différenciation suffit à obtenir une série stationnaire.
Nous choisissons donc le paramètres \(d\) valant 1 pour le modèle ARIMA.

Détermination de l’ordre autorégressif

lag = (
    len(stationary_time_series) // 10
)  # Display lags from 0 to 1/10 of time series length

_ = plot_pacf(
    stationary_time_series, lags=lag, title="PACF plot - Close price detrended"
)

Le graphique des autocorrélations partielles passe à 0, au seuil de confiance de 95%, au deuxième retard.
Nous choisissons donc le paramètre \(p\) valant 2 pour le modèle ARIMA.

Détermination de l’ordre de moyenne mobile

lag = (
    len(stationary_time_series) // 10
)  # Display lags from 0 to 1/10 of time series length

_ = plot_acf(stationary_time_series, lags=lag, title="ACF plot - Close price detrended")

Le graphique des autocorrélations passe à 0, au seuil de confiance de 95%, au deuxième retard.
Nous choisissons donc le paramètre \(q\) valant 2 pour le modèle ARIMA.