import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import seaborn as sns
from src.code.simulation.galton_watson import GaltonWatson
from src.code.simulation.utils import plot_zn_distribution, test_loi_exponentielle
from src.config.config import seed
from src.utils.utils import init_notebook

init_notebook(seed)

Simulation Galton-Watson

Loi de Poisson

λ = 1

Soit \(L\) la loi de reproduction.

Nous avons \(L \sim {\mathrm {Poisson}}(1)\).

poisson_1 = stats.poisson(1)

gp1 = GaltonWatson(poisson_1)
gp1

Processus Galton-Watson
- loi de reproduction L : poisson
- espérance E[L] = 1.0
- époque n = 0
- nombre de survivants Z_n = 1

nb_survivants = gp1.simule(20)

print(f"Il reste {nb_survivants} survivants au bout de {gp1.n} époques.")

Il reste 0 survivants au bout de 10 époques.

plt.figure(figsize=(15, 10))
gp1.plot_historique_descendants()
plt.savefig("assets/img/number-of-children.png")

# noinspection JupyterPackage
plt.figure(figsize=(15, 10))
gp1.plot_zn_sur_n()
plt.savefig("assets/img/zn-over-n.png")

Arbre de Galton-Watson

plt.figure(figsize=(12, 10))
gp1.plot_arbre()
plt.savefig("assets/img/galton-watson-tree.png", transparent=True)
plt.savefig("assets/img/galton-watson-tree.svg", transparent=True)

gp1.plot_arbre(circular=True)

λ = 2

poisson_2 = stats.poisson(2)

gp2 = GaltonWatson(poisson_2)
gp2

Processus Galton-Watson
- loi de reproduction L : poisson
- espérance E[L] = 2.0
- époque n = 0
- nombre de survivants Z_n = 1

nb_survivants = gp2.simule(20)

print(f"Il reste {nb_survivants} survivants au bout de {gp2.n} époques.")

Il reste 680149 survivants au bout de 20 époques.

gp2.plot_historique_descendants(logscale=True, affiche_moyenne=True)

gp2.plot_zn_sur_n(logscale=True)

Essais \(Z_n / n\)

nb_simulations = 10_000
nb_epoques = 100

simulations = gp1.lance_simulations(nb_simulations, nb_epoques)
simulations = np.array(simulations)

plt.figure(figsize=(25, 10))
plot_zn_distribution(simulations, nb_epoques)

<Figure size 2500x1000 with 0 Axes>

np.sum(simulations > 0)

191

zn_sup_zero = simulations[simulations > 0]

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.title("Distribution des $Z_n$,\n$n = 100$, et $Z_n > 0$")
plt.hist(zn_sup_zero)
plt.savefig("assets/img/zn-sup-zero-distribution.png")

lambda_estime = 1.0 / np.mean(zn_sup_zero / nb_epoques)
print(f"{lambda_estime = }")

lambda_estime = 1.902959051509415

loi_expo1 = stats.expon(scale=1 / lambda_estime)

echantillon_expo = loi_expo1.rvs(size=len(zn_sup_zero))

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.title("Distribution de $Z_{n} / n$, $Z_n > 0$ avec $n = 100$")
sns.histplot(zn_sup_zero / nb_epoques, stat="probability", label="$Z_n / n$")
sns.histplot(
    echantillon_expo,
    stat="probability",
    label=f"Échantillon de loi exponentielle ($\\lambda = {lambda_estime: 0.2}$)",
)

plt.legend()

plt.savefig("assets/img/zn-sup-zero-distribution-with-exponential.png")

test_loi_exponentielle(zn_sup_zero / nb_epoques)

(0.531818713902256, 0.057586680541798524)

Loi uniforme sur {0, 1, 2}

Soit \(L\) la loi de reproduction.

Nous avons \(L \sim {\mathrm {Uniforme}}(0, 2)\).

uniforme2 = stats.randint(0, 3)

gu2 = GaltonWatson(uniforme2)
gu2

Processus Galton-Watson
- loi de reproduction L : randint
- espérance E[L] = 1.0
- époque n = 0
- nombre de survivants Z_n = 1

nb_survivants = gu2.simule(100)

print(f"Il reste {nb_survivants} survivants au bout de {gu2.n} époques.")

Il reste 23 survivants au bout de 100 époques.

gu2.plot_historique_descendants()

gu2.plot_zn_sur_n()

Arbre de Galton-Watson

gu2.plot_arbre()

Essais \(Z_n / n\)

nb_simulations = 10_000
nb_epoques = 100

simulations = gu2.lance_simulations(nb_simulations, nb_epoques)

simulations = np.array(simulations)

plot_zn_distribution(simulations, nb_epoques)

np.sum(simulations > 0)

295

zn_sup_zero = simulations[simulations > 0]

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.title("Distribution des $Z_n$ avec $Z_n > 0$")
plt.hist(zn_sup_zero)

plt.savefig("assets/img/zn-sup-zero-distribution-uniform.png")

lambda_estime = 1.0 / np.mean(zn_sup_zero / nb_epoques)
print(f"{lambda_estime = }")

lambda_estime = 2.6538323137819364

loi_expo1 = stats.expon(scale=1 / lambda_estime)

echantillon_expo = loi_expo1.rvs(size=len(zn_sup_zero))

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.title("Distribution de $Z_{n} / n$, $Z_n > 0$ avec $n = 100$")
sns.histplot(zn_sup_zero / nb_epoques, stat="probability", label="$Z_n / n$")
sns.histplot(
    echantillon_expo,
    stat="probability",
    label=f"Échantillon de loi exponentielle ($\\lambda = {lambda_estime: 0.2}$)",
)

plt.legend()
plt.savefig("assets/img/zn-sup-zero-distribution-uniform-with-exponential.png")

p_value, _ = test_loi_exponentielle(zn_sup_zero / nb_epoques)

Expérimentations

for _ in range(500):
    gp1.reset()
    gp1.simule(20)
    gp1.plot_historique_descendants()

for _ in range(500):
    gp1.reset()
    gp1.simule(20)
    gp1.plot_zn_sur_n()